Биография
Родился в 1872 году в Феодосии в семье мелкого служащего.
В 1880 году поступил в классическую гимназию, а с 1881 года воспитывался в семье феодосийского фабриканта Ивана Егоровича Шмита. Учился сначала в Феодосии у Адольфа Фесслера, в мастерской Ивана Константиновича Айвазовского, но безуспешно. После этого поступил в Петербургскую Академию художеств, учился с 1891 по 1895 год в мастерской Архипа Ивановича Куинджи.
В 1890 году ездил на этюды на Волгу, в 1897 вместе с Куинджи и его учениками в Германию, Францию и Австрию. Там познакомился с современным европейским искусством. Наибольшее впечатление, по свидетельствам, на Богаевского произвели произведения художников Сецессиона в Вене, а также Арнольда Бёклина.
Начиная с 1900 года, Богаевский выставляется, сначала в Петербурге, затем в Венеции, Мюнхене (Сецессион), Париже и Москве.
В 1904 году вступил в Новое общество художников, затем был призван на военную службу, служил в Керченской крепости, в 1906 году демобилизовался и женился на Жозефине Густавовне Дуранте - венчание состоялось в Храмe Иверской иконы Божьей Матери. В этом же году Богаевский построил в Феодосии мастерскую, в которой потом работал до конца жизни.
В 1908 году путешествовал по Германии, в 1909 по Италии и Греции, знакомился с искусством старых мастеров.
В 1910 году избран членом Московского Товарищества Художников. В том же году вышла книга стихов Максимилиана Волошина «Годы странствий», иллюстрированная рисунками Богаевского.
В 1911—1914 годах участвовал в выставках «Мира искусства».
В 1912 году выполнил самую известную свою работу — три панно для особняка Рябушинского в Москве.
В 1914 году снова был призван в армию, служил около Севастополя, демобилизован в 1918 году. После революции остался в Феодосии, по-прежнему участвовал в художественных выставках.
В 1923 году работал над панно для Сельскохозяйственной Выставки в Москве.
В 1933 году получил звание заслуженного деятеля искусств РСФСР.
В 1936—1939 году работал в Тарусе.
В 1941 году оказался в оккупации, погиб в 1943 году при бомбардировке Феодосии советской авиацией.
По свидетельствам современников, Богаевский был замкнутым, добросовестным, мирным и чрезвычайно наивным человеком. Ближайшие друзья — художник Константин Кандауров и Максимилиан Волошин.
Башни Феодосии. 1905
Башни Феодосии. 1905
Берег моря. 1907
Берег моря. 1907
Вечер у моря. 1941
Вечер у моря. 1941
Вечернее солнце. 1922
Вечернее солнце. 1922
Вид древнегреческого Акрополя. 1909
Вид древнегреческого Акрополя. 1909
Воображаемый город. Радуга. 1930-е
Воображаемый город. Радуга. 1930-е
Ворота в башне. 1902
Ворота в башне. 1902
Горный пейзаж с деревьями. Орталаны 1930-е
Горный пейзаж с деревьями. Орталаны 1930-е
Горный пейзаж с морским заливом. 1930-е
Горный пейзаж с морским заливом. 1930-е
Горный пейзаж. 1940-е
Горный пейзаж. 1940-е
Деревья в Баран-Эли. 1906
Деревья в Баран-Эли. 1906
Древний город
Древний город
Древняя земля. 1922
Древняя земля. 1922
Жертвенники. 1907
Жертвенники. 1907
Заходящее солнце. 1920-е
Заходящее солнце. 1920-е
Звезда Полынь. 1908
Звезда Полынь. 1908
Индустриальное строительство. 1930-е
Индустриальное строительство. 1930-е
Индустриальный пейзаж. 1930-е
Индустриальный пейзаж. 1930-е
Итальянский пейзаж. 1911
Итальянский пейзаж. 1911
Коктебельская бухта. 1920-е
Коктебельская бухта. 1920-е